Sistemi dinamici

Il corso introduce la teoria dei sistemi dinamici, con particolare enfasi nello studio qualitativo del flusso di sistemi di equazioni differenziali ordinarie.

Orario

  • Lunedì , 14:15 - 16, stanza 5B
  • Martedì, 14:15 - 16, stanza 5C


Appelli d'esame

L'esame è orale e verterà sul programma svolto in classe; è anche prevista una parte in cui verrà chiesto lo svolgimento di un esercizio, sul modello di quelli trattati a lezione.

  1. 21 Giugno 2019, 10:00 - aula 5B
  2. 18 Luglio 2019, 10:00 - aula 5B
  3. 2 Settembre 2019, 10:00 - aula 5B
  4. 27 Settembre 2019, 10:00 - aula 5B


Programma d'esame

Qui il programma d'esame: Programma



Libri di testo consigliati

  1. Hirsh, Smale, Devaney - Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos [HSD]
  2. Hirsh, Smale - Differential Equations, Dynamical systems and linear algebra [HS]
  3. Arnold - Ordinary differential equations [Ar]
  4. Chicone - Ordinary differential equations with applications [Ch]
  5. Strogatz - Nonlinear dynamics and chaos [St]
  6. Amann - Ordinary Differential Equations: An Introduction to Nonlinear Analysis [Am]
  7. Coddington, Levinson - Theory of Ordinary Differential Equations [CL]
  8. Zehnder - Lectures on Dynamical Systems [Z]


Dispense consigliate

  1. A. Giorgilli - Metodi e Modelli Matematici per le Applicazioni [Gio]
  2. A. Giorgilli - Sistemi Hamiltoniani e teoria delle perturbazioni [Gio2]
  3. D. Bambusi - Appunti di sistemi dinamici [Ba]
  4. G. Benettin - Una passeggiata tra i sistemi dinamici [Be]


Diario delle lezioni

  • 4/03: Introduzione al corso. Equazioni differenziali autonome e non autonome. Metodo di separazione delle variabili. Studio della dinamica in alcuni modelli: decadimento radioattivo e Lotka-Volterra.
  • 6/03: Richiami su teoremi classici di EDO: esistenza ed unicità, prolungabilità delle soluzioni, esistenza globale [Am, Cap. 2] Flusso di equazioni differenziali, teorema di continuità e differenziabilità del flusso, equazione alle variazioni, proprietà di gruppo del flusso [HSD, cap. 17]
  • 11/03: Wronskiano, Teorema di Liouville [Ar, cap 27-6]. Sistemi in una variabile spaziale, punti di equilibrio stabili ed instabili, punti iperbolici. Descrizione qualitativa della dinamica, equazione logistica ed equazione logistica con prelievo [St, cap. 2]
  • 12/03: Biforcazioni per sistemi unidimensionali. Biforcazione tangente, transcritica e a forchetta. Cenni alla teoria delle catastrofi con il modello di invasione delle cavallette [St, cap. 3]
  • 18/03: Sistemi conservativi ad un grado di libertà. Conservazione dell'energia, condizioni per l'esistenza globale delle soluzioni, orbite ed insiemi di livello. Punti stabili ed instabili, ritratti di fase, periodo delle oscillazioni [Ar, cap. 2-12] .
  • 19/03: Sistemi lineari. Soluzione di equazioni lineari $\dot x = Ax$ con $A$ diagonalizzabile. Formula reale delle soluzioni. Analisi della dinamica [HS, cap. 3 e 4]
  • 25/03: Analisi qualitativa delle soluzioni di sistemi lineari. Classificazione dei sistemi lineari nel piano [HSD, cap. 3]. Analisi dei sistemi in dimensione superiore, dinamica di oscillatori armonici disaccoppiati [HSD, cap. 6] Dinamica su tori $n$ dimensionali
  • 26/04: Dinamica delle rotazioni del cerchio. Dinamica su tori $n$ dimensionali [Gio2, pag. 2--8] . Esponenziali di matrice: definizione e prime proprietà. [HS, cap. 5]
  • 1/04: Esponenziale di matrice non diagonalizzabile. [HS, cap. 6 ] Stime dinamiche del flusso lineare. Formula di Duhamel. Applicazione a oscillatore armonico con attrito e forzante [HS, cap. 7 ]
  • 2/04: Stabilità nonlineare locale. Definizione di stabilità orbitale e stabilità asintotica. Esempi. Condizioni per la stabilità asintotica e l'instabilità di punti di equilibrio. [HS, cap. 9 ] (Per le dimostrazioni, guardare il Coddington-Levinson [CL, cap. 13 ]
  • 8/04: Il teorema della varietà stabile ed instabile. Discussione generale, esempi e dimostrazione. [Note] (Attenzione, versione manoscritta e non ricontrollata! Guardare nel materiale didattico per ulteriori informazioni)
  • 10/04: Il teorema della varietà stabile ed instabile, fine della dimostrazione. Simulazioni numeriche. Derivata di Lie, Teorema di Lyapunov. [HS, cap. 9 ]
  • 15/04: Applicazioni del primo teorema di Lyapunov. Stabilità dei punti stazionari dei sistemi conservativi in $\mathbb R^n$ e sistemi Hamiltoniani. [HS, cap. 9 ]
  • 16/04: Problema circolare dei tre corpi ristretto. Equazioni del moto e punti fissi. [Note] (Attenzione, versione manoscritta e non ricontrollata! Guardare nel materiale didattico per ulteriori informazioni)
  • 29/04: Problema circolare dei tre corpi ristretto: stabilità dei punti fissi [Note]
  • 30/04: Insiemi $\alpha$ e $\omega$-limite. Esempi e loro proprietà [Gio, cap. 4]. Teorema di LaSalle. LaSalle
  • 13/05: Applicazioni a modelli. Dinamica del modello SIR, SIRS, Lotka-Volterra competitivo. [HSD, cap. 11]
  • 14/05: Teorema di Poincare' - Bendixson: sezione locale, flow box, successioni monotone di punti, dimostrazione del teorema. [HSD, cap.10]
  • 20/05: Applicazioni del Teorema di Poincare' - Bendixson: classificazione insiemi $\omega$-limite nel piano, proprietà orbite chiuse. Costruzione di orbite periodiche col metodo trapping: il modello di Selkov. [HSD, cap.10]
  • 21/05: Applicazioni a modelli: costruzione dell'orbita periodica nel modello di Van der Pol [HSD, cap.12]
  • 27/05: Simulazione del flusso dell'equazione di Lorenz: jupyter notebook e versione online. Sistemi dinamici discreti: definizione, punti fissi, stabilità lineare. Mappa logistica: simulazioni jupyter notebook e versione online.
  • 28/06: Dinamica della mappa tenda. Definizione di dinamica caotica. [HSD, cap.15]
  • 3/06: Mappa del raddoppio dell'angolo, dinamica simbolica. [HSD, cap.15] Chaos nella mappa del panettiere [Be]
  • 4/06: Introduzione ai fenomeni omoclini: intersezione omoclina, conseguenze. Lemma dell'orbita ombra e alcune applicazioni [Z, Ch.3] (senza dimostrazioni!)


Materiale didattico aggiuntivo

  • Invasione delle locuste: jupyter notebook, pdf oppure github
  • Dinamica dei sistemi lineari in dimensione 3: [Ar]
  • dfield e pplane: per la visualizzazione grafica di ODE nel piano java program matlab code
  • Teorema di punto fisso in spazi di Banach con parametri link
  • Una dimostrazione del teorema della varietà stabile ed instabile in dimensione qualsiasi link
  • Varietà stabile ed instabile del pendolo con attrito: jupyter notebook, pdf
  • Problema circolare dei tre corpi ristretto: note di A. Giorgilli
  • Celletti: Low cost travels within the Solar systems pdf
  • Funzioni di Lyapunov e stabilità globale per modelli SIR e SIRS generalizzati pdf
© Tetiana Savitska 2017